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前回の投稿「ポートフォリオ理論、ポートフォリオのリスクと期待リターンの算出」では主に分散投資によるリスクの低減効果などについて解説しました。

今回は、慎重に投資銘柄を選んで分散投資しても避けられないリスクなどについて解説しましょう。

前回までで、相関係数が+1未満の証券を組み合わせた場合に、個々の収益率の変動が相殺しあうことによってポートフォリオ全体のリスクが部分的に消去できるということはご理解いただけましたでしょうか?

そして、分散投資を行ったからといって、すべてのリスクを消去できるわけではなく、分散投資によって消去できないリスクもあります。

2つのリスク

システマティック・リスク(ベーダ)と非システマティック・リスク

例えば、iという証券のリターンが次のようなモデルによって表現すると仮定しましょう。

rit=αi+βirM,t+[誤差i,t]

上の式の右辺第3項の誤差項を除けば、非常に簡単なy=a十bxというxの1次式でyを表した同様な形で表現されています。

この場合、上式のαiが切片であるaにあたり、βiが直線の傾きを示すbであり、rMが右辺の変数であるxにあたります。

rはリターン、下つきの添え字iはi番目の証券、tは時期、Mは市場あるいはインデックス、つまり特定の指数のことです。

すなわち、要因(ファクター)を指し、aとβは定数であり、[誤差i,t]は証券iのt期リターンがaとβ、そして市場リターンでは説明しきれないものを説明する項とします。

rの文字にはティルダ、つまり変数の値が確率的に決まる確率変数が付帯しているものとします。

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人によっては聞いたこともないような言葉が出て来ると思いますが、そのカテゴリーで勝利するためには、まずそこで使われている言葉の意味がわからないといけません。これは投資の世界に限ったことではありません。まずその分野で使われている専門用語の意味を知る。これは極めて重要な事です。

シングルファクターモデル

つまり、上式は不確実である証券iのリターンがある定数と市場リターンに対する比例関係、また、これらでは説明しきれない誤差の3つの項に分解できるという単一(シングル)ファクターモデルということになります。

シングルファクター
図S-1単一(シングル)ファクターモデル

この場合、個別証券のリターンは図表S-1のように単一ファクター(要因)である市場リターンとの関係で示すことができるということです。

また、上式の右辺を変形すると、次のように証券iのリターンを市場に関連するリターンと市場に関連しない証券i固有のリターンとに分離することができます。

※ri,t=βirM,t+[αi+(誤差i,t)]

※この場合、[誤差i,t]の期待値はゼロとします。

また、証券iの[誤差i,t]は他の証券のそれの変動とは独立し、市場リターンの変動とも独立していると仮定します。

上記式の単一ファクターモデルのリスクについて考えた場合、証券iのリターンのリスクは、システマティック・リスクと非システマティック・リスクの和によって説明できます。

参考▼

システマチック・リスクとは、組織的なリスクという意味で、市場ポートフォリオのリターンのリスクと、それに対する証券iの感応度を示すβの積で表されます。

非システマティック・リスクとは、非組織的なリスクのことで市場リターンの変動では説明できない証券i固有の変動のことです。

ここで、前にポートフォリオを構成する相関係数が+1未満の証券の数を増やした場合、リスクを低減できる分散効果があったことを思い出してください。

例えば、横軸にポートフォリオ中の証券の銘柄(資産)数、縦軸にポートフォリオのリスク(標準偏差)をとり、ポートフォリオ中の銘柄を全くランダムに選んだときのポートフォリオの総リスクは、ある程度までは右下がりの曲線を描いてリスク低減効果を示します。

しかし、証券の銘柄数を10程度まで増やすとそれ以降銘柄数を増やしてもリスクは大きくは減少しません。

つまり、どんなに分散化してもポートフォリオのリスクをすべて取り除くことはできないことを示しています。

では、なぜこのようなことが生じるのでしょうか?

証券iの総リスクを構成する式をポートフォリオの総リスクとし、銘柄数kに同じ投資比率I/kで投資するポートフォリオの総リスクを示す式として表すと、例えば以下のようになります。

「※2ポートフォリオの総リスク=ポートフォリオのシステマティック・リスク+(1/k)各銘柄の非システマティック・リスクの平均」

上式で示されるように非システマティック・リスクを示す右辺第2項は、銘柄数kを増加させることによって、その値をゼロに近づけることができます。

しかし、一方で、右辺第1項のシステマティック・リスクは、ポートフォリオを構成する銘柄数kを大きくすることによっても除去できません。

つまり、分散投資を行い、十分に銘柄数kが大きいときに除去できるリスクは、非システマティック・リスクのみということになります。

ベーダ(β)の考え方

ベーダとは

シングルファクターモデル2
図S-2 シングルファクターモデル2:FP協会CFPカリキュラムより抜粋

図表S-2は、不鮮明で申し訳ありませんが、証券iのリターンを市場リターンとの関係式である単一(シングル)ファクターモデルを表現したものです。

このモデルの直線はどのような基準をもとに決定されるのでしょうか?

言い換えると、図において傾きとして表されたベーダ(β)と、切片としてのアルファ(α)はどのように算出されるのでしょうか?

まず、証券iの各期のリターンを図にプロット(ストーリーの要約)します。

この時点で直線は図表に示されたような直線は当然特定できていません。

次に、直線を先程の※ri,t=αi+βirM,t+[誤差i,t]という式で表されるモデルであると仮定します。

そして、図表においてプロットされた各期tの収益率ri,tとモデル式から得られるリターンの^ri.tの差、つまり各期の実績値と直線とのリターンの差である[誤差i,t]の2乗の合計が最も小さくなるような直線の傾きベーダと切片アルファを求めるという手法を用います。

ここで^は「ハット」と読み、モデル式による値で誤差を含んでいないリターンであることを示します。

そして、この統計手法のことを最小2乗法といいます。

この手法を用いて単一ファクターモデルの直線を求めたとき、得られたベーダは次の意味を持ちます。

※βi=証券iのリターンと市場リターンの関係の度合い(共分散)/市場リターンの散らばり

つまり、ベーダは市場リターンの分散1単位との証券iと市場リターンの共分散の比ということになります。

もし、証券iのリターンが市場リターンと常に同じ変動だと仮定した場合、分子・分母は同じとなりベーダは1になります。

つまり、この場合の市場感応度は1というこになります。

どういうことかというと、証券iのリターンが期待値より大きな値をとるときに、市場リターンも期待値より大きな値をとるような傾向がある場合。

もしくは、証券iのリターンが期待値より小さな値をとるときに、市場リターンも期待値より小さな値をとるような傾向がある場合。

ベーダが正の値をとるための証券iのリターンと市場リターンの関係が成り立ちます。

このとき、分子は同符号の掛け算で正の値をとり、分母は2乗であるため正の値をとるので、結果としてベーダは正の値をとるということです。

逆に、市場リターンが期待値より大きくなり、証券iが期待値より小さくなる傾向がある場合。

もしくは、市場リターンが期待値より小さくなり、証券iが期待値より大きくなル場合。

分子はマイナスとプラスの掛け算となり、結果、ベーダはマイナスの値を持つ傾向があるということになります。

このように、ベーダとは、市場リターンと証券iのリターンとの関係を示す尺度なのです。

この証券iのリターンと市場リターンの関係が意図するベーダの符号は、図S-3に示したとおりです。

証券のリターンと市場リターンの関係とベーダ
図表S-3 証券iのリターンと市場リターンの関係とベーダ:日本FP協会CFPカリキュラムより抜粋

ポートフォリオのベーダ

分散投資によって、ポートフォリオを構成した場合、そのポートフォリオのベーダは、それを構成する個々の証券のベーダを(投資比率Wで)加重平均したものに等しいといえます。

例えば、k個の証券があると仮定した場合に次のように表現することができます。

ポートフォリオのβ=[証券1の投資比率(w1)×証券1のベータ(β1)]+・・・・[証券kの資比率(wk)×証券kのベータ(βk)]

さらに、これを数学的な表記で置き換えてポートフォリオのベーダβpとしたとき、

βP=w1β1+w2β2+・・・wkβk

として表わすことができます。

この2つの証券に投資するとした場合に、ポートフォリオのβpは投資比率による加重平均となります。

証券1のβは-0.5であり、証券2のβは1.5で、ポートフォリオのベータ(βp)は、

βP=w1β1+w2β2

ということになります。

それでは、投資家ができるだけ市場ベーダに近いポートフォリオベーダを望んでいたとき、どのような投資比率で投資を行ったらよいでしょうか?

まず手始めに、簡単に2式の連立方程式を解くことによって最適な投資比率を求めます。

1(=βp) = ― 0.5w1 + 1.5w2

1=Wl+W2

この連立方程式を解くと、証券1への投資比率を25%、

証券2への投資比率を75%、

としたときが最適ポートフォリオであることがわかってきます。

さいごに▼

個人投資家は非システマティック・リスクをどう考えるべきか?

ポートフォリオのリターンの変動に関するリスクは、2種類のリスクに分類でる。

非システマティック・リスクは互いに完全相関しない証券の銘柄数を増やすことによって低減できることを解説しました。

「※2ポートフォリオの総リスク=ポートフォリオのシステマティック・リスク+(1/k)各銘柄の非システマティック・リスクの平均」

つまり、銘柄数をある程度まで増加させたとき、非システマティック・リスクは無視できる程度にまで小さくすることができます。

分散投資によってリスクを低減することは私たちにとって資産のリスク管理を行う上で非常に重要です。

さらに重用なのは、そのリスクを追う見返りとして、どの程度のリターンを得ることができるのかということです。

もし、ポートフォリオの非システマティック・リスクを軽減できなければ、当然ポートフォリオの総リスクは分散投資を十分に行ったときと比較しておおきくなります。

しかしながら、このリスクに見合った高いリターンを得ることができるならば、そのリスクを保有することは同時にリスクプレミアムとして有効であるということになります。

逆に、非システマティック・リスクが相当の付加的なリターンをもたらさないのであれば、そのリスクを保有することは、リスク回避を好む投資家にとっては満足度の得られい仕組みになります。

要するに重要なことは、非システマティック・リスクそのものが、リスクプレミアムを意味するものなのかどうかを考える必要があるということです。

次回は、ベーダ(β)の推定に関する事例研究について解説します。

ではまた。

日本FP協会 CFP教育カリキュラムに基づき作成しています。

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