分散と標準偏差を理解してマネープランを効率的に！

今日のマネープランは、前回の続きでリスクの測定、バリュー・アット・リスク、そしてリスクとリスクプレミアムの関係などについて解説する、少し難度が上がるがついてきてほしい。

リターンの分布を知るために期待値（平均）の次に分散または標準偏差を使用する。

リスクの概念は多岐にわたるが、リスクをリターンのブレとして考えた場合、分散または標準偏差が「リスク」ということになる。

統計学において分散が、次のように定義されているからだ。

分散＝［（ある状態の値－分布の期待値）²×（その状態になる確率）]を起こりうるすべての状態について計算し合計したもの

したがって、分布を算出するためには期待値が必要になる。

また、（ある状態の値－分布の期待値）²を偏差ともいい、期待値からの乖離（かいり）を示したものだ。

偏差が期待値よりも大きければプラス、小さければマイナスの値で表す。

ただし、単純に［（ある状態の値－分布の期待値）²×（その状態になる確率）]を起こりうるすべての状態について計算し合計したものとして算出すると、分布の散らばり方によらず、必ず0になってしまう。

だから、乖離（かいり）の部分が常に0以上になるように2乗する必用がある。

当然、算出された分散は2乗したものの和になり、元の数値からは比較しにくい数値になる。

したがって、分散の平方根をとって標準偏差とする。

なお、標準偏差は統計学ではσ（シグマ）を用いて表記するのが通例なので、分散はσ²と表記される。

これらの考え方をリターンに適用した場合、分散と標準偏差は次のようになる。

リターンの分散σ²＝［（ある状態の値－分布の期待値）²×（その状態になる確率）]を起こりうるすべての状態について計算し合計したもの。

リターンの標準偏差σ＝√リターンの分散σ²

例えば、リターンの分散と標準偏差を期待リターン＝30％×0.2＋10％×0.6＋（－10％）×0.2＝10％という条件で求めてみよう。

リターンの分散σ²＝（30－10）²×0.2＋（10－10）²×0.6＋（－10－10）²＝160

リターンの標準偏差＝√160＝12.6％

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分散と標準偏差を推計する

リターンのデータが得られていて、過去と将来は同じ分布に従っていると仮定する。

例えば、リターンが、1％、7％、10％という値だったと仮定した場合、

この期待値は（1％＋7％＋10％）／3＝6％で、分散は次のようになる。

リターンの分散＝（1－6）²＋（7－6）²＋（10－6）²／3＝14

結果、リターンの標準偏差は√14＝3.7％になる。

正規分布を分析に使う

図１－４

もし、リターンの分布が扱いやすい正規分布に従っているとすると期待値と標準偏差がわかれば分布のかたちを決めることができる。

期待値と標準偏差からも図1－4のように期待値が大きくなると分布のかたちはそのまま右方向（青色）に移動し、標準偏差が大きくなると、分布の中心はそのままで拡がりが大きくなる。（赤色）

このように正規分布は、分布のカタチの変化を期待値と標準偏差という２つのパラメータで表現できる。

図１－５

さらに、図1－5のように期待値と標準偏差がさまざまであっても、その領域の確率は期待値と標準偏差に対応して求められる。

これが、正規分布を分析に用いるメソットだろう。

例えば、教育現場で頻繁に使われる偏差値は、期待値50、標準偏差10の分布になるように変換したものだ。

しかし、現実のリターンの分布が正規分布に従っているとは限らない。

それが正規分布に従っていたとしても、その現象がタイミングよくその分布のカタチの通りになるという保障はない。

例えば、サイコロを6回振って、各目が1回ずつ出る確率を考えればわかるだろう。

ただし、真の値がわからないからといって、自分勝手に値を設定するのは避けたい。

データに基いて客観的な分析をする方が安全なのは間違いないだろう。

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リスク判断の基準？

前述した通り、リスクは分散あるいは、標準偏差で測ることができる。

しかし、それをリスクそのものと解釈するのはい早計だろう。

例えば、「元本保証があるかどうか」をリスク基準としている人は多い。

つまり、「元本割れする可能性のある商品はリスクが大きい」と感じる人が多いということだ。

言いかえれば、資産時価が購入価格を下回っているか上回っているかで、リスクを判断している。

そもそも、分散や標準偏差は、将来最もあり得る数値である「期待リターン」を中心とした上下の変動を意味している。

しかし、現実的には、期待リターンを上回ることもリスクの一部であるというのは、やや理解しにくいだろう。

いずれにせよ、リターンが定期分布に従っているなら、分布は左右対称であり、分散や標準偏差でリスクを表現するこがとはできる。

また、ダウンサイドリスクといわれる損失方向へのブレのみにフォーカスするリスク尺度もある。

その代表的なものがバリュー・アット・リスクだ。

バリュー・アット・リスク？

図1－6

バリュー・アット・リスクとは、ある資産に投資して、1年後のある時点において95％や99％などのような一定した信頼のおける水準を基準にする。

そして、その基準からいくら以上の損失が生じると考えるべきかとする損失額のことだ。

この尺度は、金融機関のリスク管理において必須だ。

リスク・バッファーとして準備している額以内に、バリュー・アット・リスクをコントロールする必要があるからだ。

リスク・バッファーとは、リスクに対応して積み上げている自己資本などだ。

ただし、この場合でもバリュー・アット・リスク（VaR）が発生する確率は（１－信頼水準）であるに過ぎない。

したがって、バリュー・アット・リスクを上回る損失が発生する可能性はある。

この場合、信頼水準を高めることによって、バリュー・アット・リスクを上回る損失が発生する可能性を抑えることはできる。

つまり、そのままの投資額ではVaRは大きくなり、準備可能なリスク・バッファーに耐えられないと判断した場合、リスクの大きい投資は減らすなどの工夫が必要だろう。

例えば、保有期間1年、信頼水準を95％とした場合、1年後にVaRを上回る損失が発生する可能性は5％ということになる。

毎年これを繰り返していくと20年間に1回の頻度でVaRを上回る損失が発生することになる。

20年間、VaRの範囲内に収まる確率は0.95²⁰＝35.8％という計算になるので、20年間に3回以上損失がVaRを上回る確率も24.5％あるということだ。

投資する際には、どこまでの損失に耐えうるのかを常に考慮しながら投資判断を行う必要がある。

なおかつ、リスク管理を怠らないことが非常に重要だ。

リスクとリターンの考察

事のついでに、もう少し掘り下げてみよう。

前もってリターンが確定していたとしたら、そこにリスクはない。

たとえば、年利3％のリターンが確実に約束されていたらリスクはない。

でもそれは現実的ではないことは、皆承知している。

実際にはさまざまなリスクが存在していることを誰もが知っているはず。

だから、投資する際にはその投資行為に伴う収益や損失の可能性について予測しうる限りの想定をしなければならない。

ということで、ファイナンシャル知識や金融の仕組みについての理解が不可欠になってくる。

その際、リスクについてどう考えるかは、極めて重要な意味を持つ。

例えば、複数の証券を組み合わせることによって、ある程度リスクを軽減することは可能だ。

しかし、その組み合わせによって期待しうるリターンを得られるかどうかわからない。

だから、リターンの幅のみではなく、リスクをどう考えるのか？

その解釈が非常に重要だ。

リスクとリターンの関係

現実的には考えられないが、コントラストを得るために飛躍した例を考えてみよう。

1. 無リスク、金利10％の預金
2. 同じ株価の株式Aと株式Bの2銘柄の内どちらかに投資

例えば、上記２つの投資対象があった場合はどうだろうか？

A株は確実に1,200円になるので、リスクがない状態で収益率が20％なる。

B株は50％づつの確率で1,200円か800円になるのでリスクがある。

すべての投資家が高い期待リターンと低いリスクを好むと仮定した場合には次のようなことが考えられるだろう。

• リスクが同じでリターンが異なる場合、期待リターンがより大きい方に投資する。
• 期待リターンが同じで、リスクが異なる場合、リスクがより小さい方に投資する。
• 期待リターンとリスクのいずれも異なる場合、投資家の類似性（経験や認知）によって異なる。

この例でいえば、投資家は当然のごとく株式Aを選択する。

需要と供給のバランス

しかし、すべての投資家がAへの投資を選択した場合どうなるだろう。

需要が供給量を上回る結果となり、1,000円という株価は無リスク金利リターン10％に向け上昇する。

つまり、A株へ投資する旨味がなくなっていくということだ。

一方、リスクのある株式Bは需要が少ないため株価が低下し、期待リターンが上昇し始める。

その結果、リスクが小さい商品は低いリターンになり、リスクの大きい商品は期待リターンが高くなる。

要するに、資産価格は単にリターンだけではなく、そのリターンの不確実性が加味され、その価格に収束するわけだ。

例えば、先程の割高な株式Bの株価が850円になったと仮定しよう。

株式Bはリスクのある商品であることに変わりない。

将来1,200円になるか、800円になるかは不明のままだ。

しかし、それが50％づつの確率であるなら、期待リターンは18％になる。

0.5（1200）＋0.5（800）＝1,000円　（1,000－850）÷850＝0.18

このよに無リスク商品（リターン10％）との差が8％ある。

この差がリスクの代償として投資家に支払われる可能性がある。

それでは、なぜ1,000円ではなく850円という株価になったのか？

そもそも、株式Bを購入しても期待株式価値である1,000円を1年後に得るれないことがわかる。

なぜなら、1年後にB株がとりうる価値は1,200円か800円だからだ。

しかし、この期待株式価値1,000円はまったく意味のない値でもない。

仮に株式Bと同じ分布で、1,200円になるか800円になるかランダムである株式が他にもあり、それらを保有したと仮定しよう。

やがてそれらすべての株式の平均株価が1,000円に近づくことになる。

時間価値の考慮

しかし、実際には850円に株価なるという考え方の方が現実的だろう。

どういうことかというと、まず第一に時間価値の問題がある。

無リスク資産が10％のリターンというのは、時間価値として考えた場合、リスク無しで10％の運用ができることを意味している。

つまり、もし株式Bのリターンが10％以下げあれば、リスクを好まない投資家は無リスク資産を購入する。

その結果、投資家にとって魅力にかける株式Bの株価は更に安くなる。

そこで、株式Bの上限株価Sは期待リターンが10％になるように仕向けられる。

※（1,000－S）÷S＝0.1⇒S＝909円

上記のように期待株価が1,000円である株式Bの期待リターンを最低10％にするためには、現在の株価は909円以下でなければならないわけだ。

リスクプレミアム

もう一つは、リスクの代償であるリスクプレミアムを加味する必要がある、ということだ。

投資家がリスクに対して無関心なら、リスクプレミアムを加味する必要はないはずだ。

しかし、実際にはリスクをなるべく取りたくないと考えるのが普通だろう。

ということで、リスクに対する代償を支払う必要が出てくるわけだ。

いま、リスクプレミアムを59円とし、市場によって適正化された価格が850円だとしよう。

期待株価と実際の株価である850円との差は、「時間価値91円＋リスクプレミアム59円＋現在の株価」になる。

仮に、さらにBよりもリスクが大きいCがあった場合はどうだろう？

同様に期待株価よりも現在の株価は低くなる。

しかし、同じ期待リターンであれば、よりリスクの小さい株式を選択するはずだ。

したがって、Bと同じ価格で購入する投資家は存在しないだろう。

その結果、株式Cは株式Bよりも低い株価になる。

例えば、Cの株価が750円になっても時間価値は91円のまま変わらない。

だから、この場合のリスクプレミアムは159円ということになる。

このようにリスクが大きい資産には大きなリスクプレミアムが与えられることになる。

したがって、リスクが大きい資産ほど期待リターンが高くなり、リスクが小さいものほど期待リターンが低くなる。

その結果、ハイリスク・ハイリターン、ローリスク・ローリターンといった構造が誕生する。

ただし、あくまでもこれは期待リターンの話に留まる。

例えば、株式Bは現時点で850円、将来時点で800円なら－5.9％だ。

株式Cは現時点で750円、将来時点が600円であれば、－20％というマイナスリターンになり、株式Cの方が下落幅が大きくなる。

それも投資の世界ではありえることだ。

次回は「分散投資によってリスクがゼロになる場合とリスクがなくならない場合」です。

ではまた。CFP®　Masao Saiki
※この投稿はNPO法人日本FP協会CFP®カリキュラムに即して作成しています。