ベータ計算

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こんにちは、MSインテグラル・デザイン研究所の斉木です。

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人によっては聞いたこともないような言葉が出て来ると思いますが、そのカテゴリーで勝利するためには、まずそこで使われている言葉の意味がわからないといけません。これは投資の世界に限ったことではありません。まずその分野で使われている専門用語の意味を知る。これは極めて重要な事です。

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前回の投稿「慎重に投資銘柄を選んで分散投資しても避けられないリスクがある」では、分散投資によって消去できるリスクと分散投資によっても消去できないリスクについて、また、市場リターンの分散1単位との証券と市場リターンの共分散の比であるβの考え方などについて解説しました。

今回は、実際の月間リターンデータを用いて実証分析を行った結果の解説からスタートします。

ベーダ(β)の推定に関する事例研究

リターン
日本FP協会CFPカリキュラムより抜粋

図表2-19は、2009 (平成21)年1月から2011 (平成23)年12月までの3年間の月次リターンデータを示したものだ。

横軸に市場リターン、縱軸にA社(旭硝子)のリターンをとり、その関係をプロットしている。

これらの月次リターンデータを用いて最小2乗法による回帰分析を行い、市場リターンに対する証券のリターンの感応度を示す尺度であるベーダを推定していくことにしよう。

分析には、多くの専門家が精通していると思われる表計算ソフトであるマイクロソフト社のExcelを用いることにする。

ソフトのバージョンによって若干異なる場合もあるが、計算していくことにする。

図表2-19を観察すると、プロットされた36個の点にはある傾向が見られる。

多くの点が市場リターンもA社のリターンもともに正、もしくはともに負である場所に分布している。

その因果関係は別問題として、市場リターンが正であるとき、A社のリターンも正の値をとり、逆に市場リターンが負であったとき、A社も負の値をとるという傾向があることが確認できる。

ここで、前回の投稿「慎重に投資銘柄を選んで分散投資しても避けられないリスクがある」の文中で紹介したシングルファクターモデルが成り立つと仮定すると、

※ri,t=βirM,t+[αi+(誤差i,t)]

参考▼

rはリターン、iは旭硝子、Mは市場、tは月番号、αとβはこれから求める直線の切片と傾きを示す値であり、[ ]内は旭硝子の毎月のリターンがaとβ、そして市場リターンでは説明しきれない誤差を説明する項

これから、表計算ソフトを用いて回帰分析を行い、αとβの値の推定を試みよう。

まず、図表2-19で示した36個のデータを、図表2-20のように、縦に旭硝子のリターンと市場リターンを2列で時系列に並べてみる。

もしくは、横に2行にする。

図表2-20ではデータの該当年月を入力したが、データ分析上必要ではない。

また、データラベルはグラフを見やすくするために入力しておくといい。

図表2-20 リターンデータの入力

旭硝子のリターン 市場リターン
2009 -0.5 -7.5
-10.4 -4.3
21.0 3.0
12.9 8.0
19.1 7.1

回帰分析結果は図表2-21(一部修正)のようになる。

回帰分析結果
図表2-21:日本FP協会CFPカリキュラムより抜粋

上記の例から仮定した単一ファクターモデルの※ri,t=βirM,t+[αi+(誤差i,t)]式のαとβの推定結果が得られる。

①によって示された表に、「切片」が1.5957、「市場リターン」が1.8019という値が示されているが、これらの値がそれぞれ、αとβの推定値ということになる。

つまり、※ri,t=βirM,t+[αi+(誤差i,t)]式はi=1として次のように推定されたことを意味している。

推定された^ri,t=1.5957+1.8019rM,t式が、図表2-21に示されるグラフ上の直線で、この回帰直線の切片が1.5957、傾き(市場リターン)が1.8019ということだ。

ここで、特にベーダの値が正の値を示していることの意味は、A社の月次リターンの変動が月次市場リターンの変動の方向(平均値からの上下)と同じ変動の方向を持つ傾向があるといえる。

さらに、1.8019という値の意味は、ベーダが1以上であることから、市場リターンが1%変動したとき、A社の月次リターンは平均的には1.8019%変動することを意味する。

つまり、旭硝子の変動は市場リターンの変動と同じ方向に、しかも1.8019倍の変動幅で変動する傾向があるということだ。

図表2-21の②によって示される[t値]及び「P値」は、①で得たa = 1.5957、β= 1.8019という値がどの程度信頼性のある推定結果であるかを示したものだ。

もし、「P値」が0.05を超えていれば、係数として得られた値の信頼性があまり高くないので、係数はゼロと見なすべきでだろう。

もし0.05以下であれば、推定された係数が高い確率で信頼できるということになる。

このように一般的に使用される判断基準を利用すると、βについての「P値」は0.00であり、十分に小さいため、信頼性の高い推定結果であるといえる。

逆にαこついては、0.0786という値となっており、0.05よりも大きく、あまり信鮒哇の高い推定結果であるとはいえない。

したがって、a=0と見なすべきという判断ができる(詳細については、統計学のテキスト等を参照)。

また、図表2-21のグラフを見てわかるとおり、この回帰直線とプロットされたリターンとの間には乖離がある。

このことは、推定された回帰直線がA社のリターンと市場リターンの関係を完全には説明できていないことを示している。

ここで、前回の投稿で証券iのリターンのリスクを定義した「※1証券iのリスク=システマティック・リスク+非システマティック・リスク」という式から、A社のリスクは、市場の変動であるシステマティック・リスクと、A社固有の非システマティック・リスクとに分けられることを思いだそう。

図表2-21の③によって示された「決定係数R2」という統計量は、A社のリターンの変動のうち市場リターンの変動で説明できる割合(右辺第1項)を示す。

つまり、この場合、A社の変動の74.8 %は全体に占める「システマティック・リスク」の割合を示すものということだ。

残り25.2%はA社固有の変動であり、全体に占める「非システマティック・リスクの割合を示すものだと解釈できる。

もし、これと同じ手順でポートフォリオのリターンと市場リターンの回帰分析を行うとすると、決定係数はポートフォリオの分散投資の程度を示すものとなる。

参考▼

このことは、前回の投稿で解説した「※2ポートフォリオの総リスク=ポートフォリオのシステマティック・リスク+(1/k)各銘柄の非システマティック・リスクの平均」という式から、ポートフォリオを構成する証券数が増加すると、非システマティック・リスクは減少し、ポートフォリオの合計リスクがポートフォリオのシステマティック・リスクに近くなる、つまり決定係数は1に近づくという関係から理解することができる。

このように、多くの専門家が日常的に使用する表計算ソフトを使用すれば、市場感応度としてのリスク尺度であるベーダ(β)を簡単に推定することができる。

さいごに▼

1つの推定結果の絶対的な値から評価を行うことは難しい。

しかし、いくつかの個別証券、ポートフォリオについて推定を行い、比較すれば、個別証券やポートフォリオの特性をより理解することが可能になる。

なお、以上の分析には、日本証券経済研究所のデータを用いたが、このリターンデータは配当が含まれたトータルリターンであり、分析に適しているといえるだろう。

また、Yahoo ! ファイナンスの時系列データによっても同様の分析が可能だが、「調整後終値」には配当が含まれていない点に注意する必要がある。

ではまた。

日本FP協会 CFP教育カリキュラムに基づき作成しています。

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